Faceți căutări pe acest blog

marți, 29 august 2017

Echerul special


Există în comerț o trusă de instrumente pentru geometrie care,  printre o mulțime de alte bunătăți, conține și o piesă extrem de drăguță despre care doresc să vă vorbesc aici și anume „echerul special”. Mai exact, există acolo un echer, care mie îmi este tare drag, ce are un unghi de 30°, un unghi de 60° și un unghi drept, adică de 90°. Acest echer, mai bine zis, acest triunghi dreptunghic, are o importanță supremă în geometrie, deoarece apare foarte, foarte des în problemele pe care le veți întâlni vreodată.




El ne amintește de o proprietate fundamentală în geometrie pe care o are triunghiul acesta dreptunghic cu un unghi de 30°: cateta mică este jumătate din ipotenuză.  În aceste șase cuvinte magice este cuprinsă o proprietate geometrică pe care o veți întâlni în sute de probleme de acum încolo. Ea ne spune că în acest triunghi dreptunghic special, cateta mică (adică latura aceea care formează unghiul drept și care este departe de unghiul de 30°),  este tocmai jumătate din ipotenuză, deci este tocmai jumătate din cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic special.

Concret, dacă veți avea curiozitatea să măsurați cu liniarul lungimea ipotenuzei echerului special, după care să măsurați lungimea catetei mici a acestui echer, veți constata că, așa ca printr-o minune, cateta mică este jumătate din ipotenuză.  Așadar, mai putem spune și că ipotenuza este de două ori mai mare decât cateta mică.  

Bineînțeles, această proprietate este valabilă pentru orice triunghi dreptunghic special (deci, triunghi cu unghiurile de 30°, 60°, 90°) și ea este echivalentă cu faptul că sinus de 30° este unu supra doi ($\frac 1 2$), sinusul unui unghi fiind, prin definiție, cateta opusă acelui unghi supra ipotenuză.

sâmbătă, 26 august 2017

Ce este lungimea?


Unul și același segment de dreaptă are o lungime unică ce nu poate fi confundată.

Prin definiție, lungimea unui segment este o mărime care arată de câte ori se cuprinde un segment etalon, numit „unitate de măsură pentru lungime” în segmentul respectiv.

De exemplu, pe latura unei camere putem așeza de cinci ori bucata aceea de lemn numită „metrul tâmplarului”. Asta înseamnă că latura camerei are lungimea de cinci metri. Dar tot pe aceeași latură putem așeza de cinci sute de ori degetul mic de la mâna dreaptă în ipoteza că grosimea degetului ar fi de un centimetru. Asta mai înseamnă atunci că latura camerei nu are doar lungimea de cinci metri, ci are și lungimea de cinci sute de centimetri. Bineînțeles, în tot acest timp, camera este aceeași și considerăm că latura ei nu s-a dilatat prea mult din cauza căldurii de afară.

Așadar, lungimea este un ansamblu de DOI factori, unul fiind un număr real pozitiv, iar celălalt fiind o unitate de măsură.

Doar numărul real pozitiv singur nu este suficient pentru a exprima lungimea unui segment, ci el trebuie întotdeauna asociat cu unitatea de măsură care îl generează.

Cum am văzut mai sus, lungimea unui segment poate fi 5 metri, dar aceeași lungime poate fi scrisă și ca fiind 500 de centimetri, fără să modificăm segmentul respectiv. În primul caz numărul real pozitiv este 5, unitatea de măsură fiind metrul, iar în al doilea caz numărul real pozitiv este 500, iar unitatea de măsură este centimetrul.

Observați că dacă am luat o unitate de măsură mai mică de 100 de ori decât metrul, atunci numărul real pozitiv ce exprimă lungimea a crescut de 100 de ori. Așadar, doar numărul acela real nu semnifică mare lucru când vorbim despre lungimea unui segment, ci întotdeauna trebuie să știm și despre ce unitate de măsură este vorba.

Am dorit să scot în evidență acest fapt, deoarece unii elevi se mulțumesc să creadă că lungimea unui segment este dată doar de acel număr real pozitiv, neglijând unitatea de măsură care determină acel număr. 

E-adevărat, odată ce fixăm unitatea de măsură și ne asigurăm că nu o vom mai schimba niciodată în contextul unei anumite probleme, atunci singurul care mai contează este acel număr real pozitiv, căci în asemenea condiții când știm ce unitate de măsură folosim pentru lungime și n-o mai modificăm, deci în asemenea condiții nu mai contează decât acel număr real pozitiv pentru a vorbi despre lungimea unui segment.

Deci, în rezumat, nu uitați, lungimea este UN ANSAMBLU de două elemente, număr și unitate de măsură, nu doar număr.

Desigur, același lucru îl putem spune și despre arie sau volum, nu doar despre lungime.

duminică, 13 august 2017

Citește ce-ți place, ca să-ți placă ce citești


Mulți dintre noi ne plictisim repede după ce am început să citim ceva ce pare obligatoriu. Mi se întâmplă și mie. Dar când descopăr asta, mă opresc din lectură și-mi spun că mintea mea nu este deocamdată pregătită pentru lectura respectivă. Apoi fac altceva o vreme, după care revin. Și dacă tot nu sunt dispus să citesc în continuare acel material, atunci am o carte de rezervă pe care abia aștept s-o citesc, pe care o citesc cu poftă cu orice ocazie, pe care o înțeleg bine și mă captivează.

Este foarte important să citiți. Toată cunoașterea umanității se află în cărți. Și cred că adevăratul progres al omenirii a început în momentul în care cineva s-a gândit să lase cumva moștenire urmașilor săi ceea ce a aflat el pe parcursul vieții, pentru ca ei să nu mai fie nevoiți să înceapă de la zero cunoașterea. Animalele nu știu să-și transmită cunoștințele mai departe urmașilor, motiv pentru care nu pot zbura în cosmos. Nu poți acumula într-o viață de unul singur toate cunoștințele de care ai nevoie pentru a zbura în  cosmos. Oamenii au început prin a scrijeli pe pietre cunoștințele lor fundamentale, apoi au descoperit tiparul, apoi internetul. De aceea, oamenii diferă foarte mult de animale.

Așadar, acesta este motivul pentru care citim. Ca să nu mai fim nevoiți să pornim de la zero, ci să ne bazăm pe cunoștințele obținute deja de către înaintașii noștri dragi. 

Dar asta nu înseamnă că trebuie să citim tot ce ne pică în mână, haotic. Trebuie să citim doar ceea ce ne definește, doar ceea ce este în legătură cu ceea ce ne place mult, mult de tot. Și nu e ușor să descoperim ceea ce ne place. De regulă, ne place numai ceea ce ne captivează, ce ne face să uităm de ceas, de foame, ce ne mărește pulsul, ce ne emoționează până la lacrimi. Citiți despre asemenea lucruri.

Nu putem fi enciclopediști. Cu toate că sunt foarte multe domenii de cunoaștere extrem de interesante, nu avem o viață nesfârșită încât să ne putem dedica oricărui ideal. Trebuie să fim selectivi. Și trebuie să ne consolăm cu ideea că nu vom putea citi toate cărțile care au fost scrise vreodată. Nici măcar pe cele bune, bune de tot.

Așadar, descoperiți cu mare atenție ceea ce vă place cu adevărat, mai mult decât orice, și dedicați-vă complet, dar complet!, acelui ideal. Citiți mult despre ceea ce se știe în acel domeniu. Și astfel nu va fi un timp pierdut. 

N-am regretat nicio clipă că am citit mult, ci am regretat că nu am citit mai mult.

vineri, 11 august 2017

Dumnezeule, ce muncă!


Cu o mare întârziere pentru voi, am descoperit recent saitul domnului profesor Jitaru Ionel (și l-am pus imediat în lista de mai jos) care a muncit pentru voi ca să rezolve toate variantele de mate propuse pentru Bacalaureatul din 2009 la M2. Am considerat că este o muncă prețioasă care vă poate ajuta enorm în învățarea matematicii, așa că i-am dedicat acest articol separat pentru a-l semnala cum se cuvine.

joi, 10 august 2017

Cel mai mare divizor comun este, de fapt, mititel


Există un paradox al celui mai mare divizor comun, pe care mulți elevi de gimnaziu îl urăsc. Păi, dacă e CEL MAI MARE, atunci de ce este mic? Ce se întâmplă, de fapt?

Să studiem, de exemplu, numerele 18 și 24. Să le găsim cel mai mare divizor comun, ca să ne lămurim cum e cu paradoxul acesta supărător.

Întâi facem o listă cu divizorii lui 18, apoi cu cei ai lui 24, după care vom găsi cel mai mare divizor comun. Zis și făcut.

Divizorii lui 18. Cum îi găsim? Hmmm... Păi, începem cu 1, căci 1 este divizor al oricărui alt număr natural. Dar, dacă l-am găsit pe 1, atunci automat am găsit și perechea lui 1, care este 18. (Am numit „pereche” acel cuplu de divizori care prin înmulțirea lor ne dau exact 18.) Apoi, un alt divizor al lui 18 ar fi 2, căci 18 se împarte exact cu 2. Observați că nu am sărit de la 1 la 3, ci m-am străduit să găsesc divizorii într-o oarecare ordine crescătoare. Așadar, până în prezent i-am găsit pe 1, 18 și 2. Mai departe, mă gândesc la perechea lui 2, adică la 9, căci 2 înmulțit cu 9 ne dă 18. Următorul divizor va fi 3 și perechea lui, 6. Și cam atât, căci nu mai găsim numere cu care 18 să se poată împărți exact. Deci, putem construi o listă frumoasă cu divizorii lui 18: $$D_{18}=\lbrace 1,2,3,6,9,18\rbrace.$$

Divizorii lui 24. Procedând ca și pentru 18, vom găsi $$D_{24}=\lbrace 1,2,3,4,6,8,12,24\rbrace.$$ Am avut grijă să pun și la 24 toate perechile posibile.

Așadar, până aici am găsit divizorii lui 18 și ai lui 24. Să vedem mai departe care sunt divizorii comuni, adică divizorii care se găsesc atât în lista lui 18, cât și în lista lui 24. Desigur, primul divizor comun este 1, căci el se află și în $D_{18}$ și în $D_{24}$. Altul este 2, apoi 3 și apoi 6. Și cam atât. Putem construi o listă cu ei ca să îi vedem mai bine: $$DC_{18,24}=\lbrace1,2,3,6\rbrace.$$

Ei bine, care este cel mai mare dintre acești divizori? Desigur, 6. Cum este acest 6 față de 18 și 24? Desigur, mai mititel. Cu toate că vorbim despre cel mai mare divizor comun, asta nu înseamnă că el este mai mare decât 18 și 24. 

Și să mai clarificăm un aspect. De ce nu este interesant și n-am auzit niciodată despre „cel mai mic divizor comun”? Pentru că cel mai mic divizor comun pentru două numere naturale va fi întotdeauna 1 și nu trebuie să depunem niciun efort deosebit pentru a-l găsi. Tocmai de aceea nu este relevant cel mai mic divizor comun, ci doar cel mai mare.



Dar lucrurile stau similar și pentru cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24. Deși titulatura îi spune că este mic, el este de fapt mai mare decât 18 și decât 24. Dacă veți face o listă cu multiplii lui 18 și cu cei ai lui 24, veți constata că cel mai mic multiplu comun al lor este 72. Acest număr este multiplu și de 18 (căci 72 se împarte exact cu 18), dar și de 24. Și este cel mai mic dintre toți multiplii comuni ai celor două numere.

Ei bine, care o fi cel mai mare multiplu comun și de ce nu este interesant de găsit? De ce nu căutăm niciodată cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic? Păi, așa cum cel mai mic divizor comun este neinteresant, fiind 1, tot astfel, cel mai mare multiplu comun este neinteresant, căci el este tocmai infinit de mare. Infinitul este un multiplu comun atât pentru 18, cât și pentru 24, dar este multiplu comun pentru orice alte două numere naturale nenule. Așa că el nu aduce nicio informație interesantă în studiul multiplilor. Bineînțeles, problema cu infinitul ăsta este un pic mai complicată, dar măcar v-ați făcut o idee de ce nu căutăm cel mai mare multiplu comun, ci doar pe cel mai mic.



În concluzie, cel mai mare divizor comun al lui 18 și 24 este mai mic decât 18 și decât 24, iar cel mai mic multiplu comun al lui 18 și 24 este mai mare decât 18 și decât 24. Și sper că acest articol v-a adus mai multă lumină în ceea ce privește aceste două noțiuni importante.

sâmbătă, 5 august 2017

O regulă mnemotehnică pentru semnele divizibilității


Am întâlnit foarte mulți elevi cu dilema semnelor $|$ și $\vdots$, așa că în acest articol a venit vremea lor.

Avem următoarea convenție de semn:

$3\color{red}{|}15$ înseamnă „3 îl divide pe 15”.

Observați că bara verticală a relației „îl divide pe” am colorat-o cu roșu și tot cu roșu am colorat și litera „l” din cuvântul „îl”. Cele două semne seamănă izbitor, așa că nu mai puteți uita ce înseamnă bara verticală.





Și, bineînțeles, pentru cele trei puncte verticale ne rămâne cealaltă semnificație și anume:

$15\color{blue}{\vdots} 3$, care înseamnă „15 se divide cu 3”.


joi, 3 august 2017

Despre un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute


Un sistem de două ecuații este un ansamblu de două ecuații care trebuie satisfăcute simultan (acolada care apare ne arată că cele două ecuații trebuie să fie satisfăcute simultan, adică trebuie să fie „adevărate” simultan). A rezolva un sistem de două ecuații cu două necunoscute înseamnă a găsi o pereche de numere în așa fel, încât, puse în locul lui x și y (în această ordine), în cele două ecuații, egalitatea să fie adevărată, atât în prima ecuație, cât și în cea de-a doua.

Doamna Vladimira Palașca a realizat un applet valoros în Geogebra, cu ajutorul căruia elevii de clasa a VIII-a pot înțelege mai ușor comportamentul unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. 




Mai exact, în appletul ei puteți observa un sistem de două ecuații, una roșie, iar cealaltă albastră. Fiecare dintre cele două ecuații au coeficienți ce pot fi modificați cu ajutorul cursoarelor care au aceeași culoare ca și a ecuației respective.

De asemenea, puteți vizualiza pe desen graficul corespunzător fiecărei ecuații. Graficul corespunzător unei ecuații liniare cu două necunoscute este o dreaptă.

Dacă cele două drepte se intersectează într-un singur punct, înseamnă că sistemul dat este și compatibil și determinat (adică are o soluție, care este și unică).

Dacă cele două drepte se intersectează în mai multe puncte (iar dacă se intersectează în două sau mai multe puncte, atunci se intersectează într-o infinitate de puncte, adică dreptele sunt una și aceeași, deci coincid), atunci sistemul celor două ecuații este din nou compatibil, dar este nedeterminat. Asta mai înseamnă că cea de-a doua ecuație nu aduce nicio informație în plus față de prima. Se pot întâmpla asemenea cazuri atunci când cea de-a doua ecuație este tocmai prima ecuație, înmulțită eventual cu vreun număr oarecare, nenul.

În fine, dacă cele două drepte sunt paralele, atunci ele nu se intersectează, ceea ce înseamnă că sistemul dat nu are nicio soluție, caz în care sistemul se numește incompatibil sau imposibil (este imposibil ca cele două ecuații să fie satisfăcute simultan de vreo pereche de numere puse în locul lui x și y).


Sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute este cel mai simplu sistem posibil. El vă poate iniția excelent în studiul sistemelor și orice profesor bun va începe cu (sau va reaminti) acest sistem înainte de a studia cazurile mai generale.