Mate-info 2016, subiectul I, problema 3

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\left(\frac{1}{2}\right)^{4x-9}=32^x$.

Atunci când necunoscuta $x$ a unei ecuații apare la exponent, se spune despre acea ecuație că este ecuație exponențială. Deci, ecuația dată este o ecuație exponențială.

Ecuațiile exponențiale sunt mai blânde decât alte ecuații pentru că ele nu necesită condiții de existență. Altfel spus, la exponentul unui număr real putem pune orice alt număr real, căci tot număr real vom obține la rezultat, dacă baza puterii este deja fixată (baza trebuie să fie un număr real pozitiv și diferit de unitate).

Așadar, ecuația noastră exponențială nu are nevoie de condiții de existență, căci bazele sunt numere reale pozitive și diferite de unitate. Dacă necunoscuta $x$ ar fi apărut și în vreuna dintre cele două baze, atunci trebuia să punem condiții de existență, în așa fel încât baza să fie număr pozitiv și diferit de unitate. Dar în cazul nostru, putem trece direct la rezolvarea ei.

Pentru a rezolva o ecuație exponențială, de regulă, trebuie să facem unele artificii pentru a transforma ecuația dată într-o ecuație uzuală, precum sunt ecuațiile de gradul întâi sau de gradul al doilea. Acesta să fie primul lucru la care vă gândiți atunci când vedeți o ecuație exponențială.

Artificiile cu care trebuie să atacăm o ecuație exponențială sunt de două tipuri: artificii prin care aducem bazele la valori egale sau artificii prin care aducem exponenții la valori egale.

De regulă, în ecuațiile exponențiale pe care le primiți la bac veți aduce bazele la valori egale. Și așa va fi și în ecuația noastră, vom face tot felul de chestii permise care să ne aducă ecuația la o formă în care bazele sunt egale.

Ok. Vedem că baza puterii din partea stângă a egalității este $\frac{1}{2}$, în timp ce baza puterii din partea dreaptă a egalității este $32$. Prin urmare, trebuie să ne gândim la o legătură între $\frac{1}{2}$ și $32$. Ce legătură misterioasă ar putea fi între $\frac{1}{2}$ și $32$?

Ajuns în această etapă a raționamentelor, elevul care a mai lucrat cu puterile își va aminti ceva interesant: că $\frac{1}{2}$ poate fi scris și ca o putere, adică, poate fi scris ca $2^{-1}$. Totodată, își va aminti că $32$ poate fi scris și el ca o putere a lui 2, și anume, $2^5$.

Acestea fiind constatate, ecuația noastră devine: $$\left(2^{-1}\right)^{4x-9}=\left(2^5\right)^x.$$ Deci, se prefigurează apariția unei baze comune cu valoarea egală cu 2, atât în partea stângă a egalității, cât și în partea dreaptă.

Ne mai amintim apoi câteva proprietăți ale puterilor, printre care cea mai importantă acum va fi $$\color{blue}{\left(a^x\right)^y=a^{x\cdot y}}.$$ Cu această proprietate în minte, ecuația va deveni $$2^{-1\cdot(4x-9)}=2^{5\cdot x}.$$

Adică, va deveni $$2^{-4x+9}=2^{5x}.$$

Acum, dacă bazele sunt egale, rezultă că și exponenții trebuie să fie egali, moment în care am scăpat de ecuația exponențială și am ajuns la o ecuație simplă, de gradul întâi, obținută din egalarea exponenților: $$-4x+9=5x.$$ 

Rezolvând această ecuație simplă prin ducerea termenilor cu $x$ într-o parte și a termenilor fără $x$ în cealaltă parte, obținem răspunsul final $$\color{red}{x=1}.$$