Varianta model pentru bacalaureat, 2015, mate-info (M1), subiectul II, problema 1.c

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a&a+1\\2&a+2&a+3\end{pmatrix}$, unde $a$ este un număr real. 

Arătați că există o infinitate de matrice $X\in\mathscr{M_{3,1}}(\mathbb{R})$ care verifică relația $A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

O matrice de forma $X\in\mathscr{M_{\color{magenta}{3},\color{limegreen}{1}}}(\mathbb{R})$ este o matrice care are $\color{magenta}{3}$ linii și $\color{limegreen}{1}$ coloane. Așadar, matricea noastră necunoscută $X$ trebuie să fie de forma
$$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},$$
adică este o matrice coloană.

Dacă înmulțim o matrice pătratică cu o matrice coloană, obținem ca rezultat o matrice coloană (iar dacă am înmulți o matrice linie cu o matrice pătratică, am obține o matrice linie). În general, dacă înmulțim o matrice (7,4), adică o matrice cu 7 linii și 4 coloane cu o matrice (4,6), vom obține o matrice (7,6). Simbolic, am putea scrie $(7,\color{limegreen}{4})\cdot(\color{limegreen}{4},6)=(7,6)$. Observați că acel $\color{limegreen}{4}$ din mijloc dispare ca prin farmec. Tocmai de aceea putem să înmulțim doar matrice pentru care numărul de coloane din stânga este egal cu numărul de linii din dreapta.



Așadar, dacă vom înmulți matricea pătratică $A(2015)$ cu matricea coloană $X$, vom obține tot o matrice coloană. Această matrice coloană obținută ca rezultat va trebui să o egalăm cu matricea coloană $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$.

Dar să nu anticipăm prea mult, ci să facem întâi produsul dintre matricea pătratică $A(2015)$ și matricea coloană necunoscută $X$. Când înmulțim două matrice, înmulțim (mai corect ar fi să spunem „combinăm liniar” ) pe rând liniile matricei din stânga cu coloanele matricei din dreapta (această asimetrie face ca produsul matricelor să fie aproape întotdeauna necomutativ).

Așadar
$$A(2015)\cdot X=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2015&2016\\2&2017&2018\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot x+1\cdot y+1\cdot z\\0\cdot x+2015\cdot y+2016\cdot z\\2\cdot x+2017\cdot y+2018\cdot z\end{pmatrix}.$$

Această matrice coloană rezultată va trebui egalată cu matricea $\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. Așadar, avem
$$\begin{pmatrix}x+y+z\\2015y+2016z\\2x+2017y+2018z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}.$$

Dar două matrice sunt egale atunci când elementele lor corespondente sunt egale. Atunci, egalitatea matriceală va fi echivalentă cu sistemul de trei egalități (ecuații):
$$\begin{cases}x&+&\,\,\,\,y&+&\,\,\,\,z&=0\\&&2015y&+&2016z&=0\\2x&+&2017y&+&2018z&=0\end{cases}.$$


Acum, având acest sistem în față, să ne reamintim ce ne cere problema. Ea zice să demonstrăm că există o infinitate de matrice bla, bla, bla. Deci, ne cere să arătăm de fapt că există o infinitate de soluții ale acestui sistem, deci să arătăm că există o infinitate de posibilități în care putem alege valori pentru $x$, $y$ și $z$. Ei bine, cum arătăm asta?


Pentru orice sistem există următoarele trei posibilități:

1. Sistemul are zero soluții. Deci nu are nicio soluție. Un asemenea sistem se mai numește „incompatibil”. El conține ecuații care se contrazic, ducând la egalități absurde, precum $1=2$.
2. Sistemul are o soluție unică. Este cel mai „curat” caz. Numai un asemenea sistem se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Și reciproc, dacă un sistem se poate rezolva cu Cramer, atunci el are soluție unică. Un asemenea sistem se numește „determinat” sau mai ales „compatibil determinat”. El conține ecuații necesare și suficiente, care nu se contrazic. Fiecare dintre ecuații aduce informație suplimentară în sistem, necesară pentru a găsi  toate necunoscutele. Observați cu această ocazie că nu trebuie să confundăm soluția cu necunoscutele. Soluția înseamnă un set de numere care corespund necunoscutelor. De exemplu, soluția unică a unui sistem de trei ecuații cu trei necunoscute $x$, $y$, $z$ ar putea arăta așa $S=(1,2,3)$ care înseamnă că $x=1$, $y=2$ și $z=3$.
3. Sistemul are o infinitate de soluții. Acest tip de sistem se numește „nedeterminat” sau mai ales „compatibil nedeterminat”. El conține câteva ecuații inutile, care pot fi deduse din celelalte ecuații. Deci, conține ecuații necesare, dar insuficiente.

Nu există alte tipuri de sisteme cu coeficienți reali! Deci, nu există, de exemplu, sisteme cu cinci soluții. Și nici cu patru. Nici cu trei. Și nici cu două. Dacă are soluții, atunci ori are o singură soluție, ori o infinitate. Nu există cale de mijloc. În schimb, există sisteme cu mai multe soluții dacă e vorba de clase de resturi, de exemplu, ceea ce nu e cazul nostru acum.




Vedem acum că sistemul nostru trebuie să fie compatibil nedeterminat. Deci, trebuie să fie întâi compatibil, apoi nedeterminat.

Arătăm întâi că este compatibil. Asta înseamnă că el are soluții. Nu știm câte, dar știm că are. Ia să vedem. Putem arăta ușor că sistemul are soluții? Măcar o soluție? Un sistem care se termină cu zerouri, deci care are după egal numai zerouri sau (mai corect spus) care are termenii liberi nuli se numește sistem omogen. Și orice sistem omogen are soluție. Cea mai simplă soluție. Cea în care toate necunoscutele sunt efectiv nule. Acestei soluții i se mai spune și „soluția banală”. Nu-i așa că orice sistem omogen are această soluție? Căci dacă punem $0$ în locul tuturor necunoscutelor, obținem în total evident $0$. Deci, orice sistem omogen este compatibil, căci are cel puțin soluția banală.

Ei bine, sistemul nostru este tocmai un sistem omogen. Deci este și compatibil. Așadar, am terminat cu compatibilitatea. Mai trebuie să arătăm că este nedeterminat.

Pentru a arăta că sistemul este nedeterminat este suficient să arătăm că el nu se poate rezolva cu metoda lui Cramer. Metoda lui Cramer ne spune că necunoscutele sunt egale cu niște fracții care au la numitor același număr, bine definit și, evident, nenul. Iar acest număr este tocmai determinantul principal al sistemului, adică determinantul matricei care este formată din coeficienții necunoscutelor. Dacă acest determinant este nul, am încurcat-o, căci atunci sistemul nu se mai poate rezolva cu Cramer. Și tocmai asta-i șmecheria de care avem noi nevoie aici.

Vrem să arătăm că determinantul sistemului este nul și atunci putem trage concluzia că sistemul nostru nu se poate rezolva cu Cramer, deci nu are soluție unică. Este oare nul determinantul principal al sistemului? Păi, care este determinantul principal al sistemului nostru? Tocmai determinantul matricei $A(2015)$! Și noi am calculat deja acest determinant la punctul a). și am arătat că el este nul, indiferent cât ar fi numărul $a$. Deci și determinantul matricei $A(2015)$ este nul.

În concluzie, sistemul nostru este omogen (deci compatibil) și are determinantul nul (deci este nedeterminat). Așadar, are o infinitate de soluții. Și astfel am rezolvat problema.

Mai puteam observa că a treia linie se obține dacă adunăm la a doua linie dublul primei linii. Astfel, puteam deduce din start că a treia ecuație este inutilă, deci sistemul este nedeterminat. Eliminând apoi această ecuație și fixând necunoscuta $z$ ca fiind egală cu $\lambda$, am fi obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute $x$ și $y$, a cărui soluție ar fi fost $S=\left(\frac{\lambda}{2015};-\frac{2016\lambda}{2015}\right)$. În consecință, matricea $X$ este dependentă de numărul real $\lambda$ și are forma $X(\lambda)=\begin{pmatrix}\frac{\lambda}{2015}\\-\frac{2016\lambda}{2015}\\\lambda\end{pmatrix}$.

Dar, desigur, acest lucru nu mai e necesar la bac. La bac e suficient să menționați că un sistem omogen este nedeterminat dacă are determinantul nul și să arătați că sistemul nostru are tocmai aceste două proprietăți.