Un șir ce-mi trezește nostalgii

Pe vremea când eram eu de vârsta voastră, dragi elevi, abia apăreau calculatoarele de buzunar și ceasurile electronice, niște minuni care pe mine m-au fascinat așa precum vă fascinează azi pe voi telefoanele-astea mobile super-inteligente.

Și nu știu cum se făcu' odată că am aflat atunci de un șir buclucaș pe care l-am sucit și răsucit în toate părțile cu un asemenea calculator de buzunar de care vă povestesc.

Șirul în sine dacă-l vedeți n-o să vă spună mare lucru, dar după ce ne jucăm puțin cu el veți vedea altfel lucrurile.

Iată șirul:
$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right).$$

Această relație ne spune că dacă vrem să găsim termenul următor al șirului, să împărțim întâi numărul constant $a$ la termenul curent al șirului, apoi să adunăm rezultatul cu termenul curent, după care ceea ce obținem să împărțim la doi.

Nu e mare lucru. E doar o relație de recurență între doi termeni consecutivi ai șirului.

Zis și făcut. Mi-am luat calculatorul de buzunar și am procedat după cum urmează:
-1). Am ales întâi cine să fie $a$, să zicem $5$;
-2). Am început cu un număr oarecare, să zicem $1$, pe care l-am considerat a fi tocmai primul termen al șirului;
-3). Am memorat acest prim termen $1$ în memoria calculatorului (aveai acolo o opțiune pentru asta);
-4). Am împărțit numărul ales $a=5$ la memoria calculatorului (care a fost la început, după cum vă spuneam, $x_1=1$), am adunat rezultatul cu memoria calculatorului, apoi am împărțit rezultatul la 2 și am înlocuit ceea ce era în memorie cu ultimul rezultat;
-5). Am repetat pasul 4 de cât mai multe ori până când nu se mai schimba nimic pe ecran datorită preciziei mici a calculatorului.

Ce credeți că obțineam? Unii dintre voi poate își amintesc, alții doar bănuiesc, alții în schimb se vor minuna: obțineam o valoare foarte bună pentru radical din $a=5$!



Haideți să vedem cum se petrec lucrurile concret. Punem în memoria calculatorului M=1. Facem apoi (5:M+M):2 și obținem rezultatul 3. Acum schimbăm conținutul memoriei și punem în loc de conținutul vechi M=1 conținutul M=3.

Facem din nou (5:M+M):2, de data aceasta obținem 2,33333333. Acum îl facem pe M să fie 2,33333333 și obținem 2,238095238.

Apoi, repetând pașii indicați, obținem o listă precum cea de mai jos:

a	M	(a:M+M):2
5	1	3
	3	2,333333333
radical din a	2,333333333	2,238095238
2,236067977	2,238095238	2,236068896
	2,236068896	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977
	2,236067977	2,236067977

Pentru $a=2$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
2	1	1,5
	1,5	1,416666667
radical din a	1,416666667	1,414215686
1,414213562	1,414215686	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562
	1,414213562	1,414213562

Sau pentru $a=7$ obținem lista

a	M	(a:M+M):2
7	1	4
	4	2,875
radical din a	2,875	2,654891304
2,645751311	2,654891304	2,645767044
	2,645767044	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311
	2,645751311	2,645751311

Sau, mai interesant, pentru $a=9$

a	M	(a:M+M):2
9	1	5
	5	3,4
radical din a	3,4	3,023529412
3	3,023529412	3,000091554
	3,000091554	3,000000001
	3,000000001	3
	3	3
	3	3
	3	3

Faceți-vă și voi o asemenea listă în GoogleDocs și jucați-vă cu ea.

Observați ce repede converge șirul! Sunt suficienți doar câțiva pași și obținem radicalul căutat, fără să ne mai chinuim cu calculul mai amănunțit.

Mda, cam cu de-astea îmi băteam eu capul când eram adolescent. Așa ți-e cu pasionații ăștia bolunzi...