Faceți căutări pe acest blog

duminică, 5 octombrie 2014

Element neutru


Ieri vă povesteam despre partea stabilă pentru mulțimea $M=(2,\infty)$ în raport cu operația $x\circ y=6-2x-2y+xy$, operație despre care am putut vedea că poate fi scrisă și sub forma $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$.

Azi vrem să vedem dacă această operație are sau nu are element neutru, adică dacă are ceva care lasă nemodificat operandul cu care intră în operație. Altfel spus, ne interesează dacă există un $ceva$ astfel încât
$$ceva\circ 5=5$$
sau astfel încât
$$8\circ ceva=8.$$

De fapt, cum e,
$$ceva\circ 5=5$$
sau
$$5\circ ceva=5$$?

Deci, în care parte a egalității trebuie să se afle elementul neutru, în stânga, ori în dreapta? Ei, bine, definiția elementului neutru ne spune că nu trebuie să conteze în care parte se află acesta.

Mai exact, se numește element neutru în raport cu o operație $\circ$, acel element notat cu $e$ care are proprietatea
$$\color{red}{x\circ e=e\circ x=x},$$
indiferent ce numere (mai mari ca $2$) punem în locul lui $x$.

Adunarea are ca element neutru numărul $0$ pentru că un număr adunat cu $0$ rămâne neschimbat. De asemenea, înmulțirea are ca element neutru numărul $1$ pentru că un număr înmulțit cu numărul $1$ rămâne neschimbat.




Pentru operația noastră nici nu s-ar pune problema în care parte să se afle elementul neutru, deoarece operația noastră este comutativă, adică avem $x\circ y=y\circ x$, indiferent ce punem în locul lui $x$ și al lui $y$. Acest lucru se poate demonstra ușor amintindu-ne că operația noastră este un produs de paranteze plus 2 și ținând seama de faptul că produsul parantezelor este el însuși comutativ.

Deci, cum operația noastră este comutativă, este suficient să găsim un număr șmecher $e$ în așa fel încât să avem măcar
$$x\circ e=x,$$
fără să ne mai trebuiască relația  $e\circ x=x$.

Trecem atunci la calcule. După cum am văzut ieri, avem
$$x\circ e=6-2x-2e+xe=(x-2)(e-2)+2.$$
Iar aceasta trebuie să fie egală cu $x$. Așadar, trebuie să avem
$$(x-2)(e-2)+2=x.$$

În această relație trebuie să scăpăm cumva de $x$ și să nu-l mai vedem deloc, deoarece elementul neutru $e$ nu trebuie să depindă în niciun fel de $x$, ci trebuie să fie un număr de sine stătător, același oricare ar fi operandul $x$.

Atunci, cum dumnezeu am putea scăpa de $x$ în relația
$$(x-2)(e-2)+2=x\,\,\,?$$
Hmmmm.... Păi, ia observați voi ce se întâmplă dacă îl trec pe $2$ din stânga egalului în dreapta. Relația noastră devine
$$(x-2)(e-2)=x-2.$$
Ei? Ce părere aveți, acum putem scăpa de $x$? Ca să puteți observa și mai ușor, voi rescrie relația anterioară cu niște paranteze superflue, adică
$$(x-2)(e-2)=(x-2).$$
Acum observați că putem scăpa de $x$? N-avem decât să împărțim toată egalitatea cu $(x-2)$. Căci $(x-2)$ este diferit de $0$, din moment ce $x$ este un număr mai mare ca $2$.

După împărțirea ecuației cu $(x-2)$, obținem ceva curat, fără $x$ și care îl conține doar pe mult doritul $e$:
$$(e-2)=1,$$
adică
$$e-2=1,$$
adică
$$e=1+2=3.$$

Iată deci că elementul neutru al operației noastre este $e=3$, ceea ce înseamnă că dacă vom compune $ceva$ cu $3$ vom obține exact acel $ceva$ și nimic altceva. Concret, avem
$$x\circ 3=(x-2)(3-1)+2=(x-2)\cdot 1+2=x-2+2=x.$$

Suntem, deci, în posesia elementului neutru căutat.

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare