Faceți căutări pe acest blog

marți, 7 octombrie 2014

Comutativitate


Nu ne putem despărți atât de ușor de legea noastră dragă de care vorbeam în ultimele zile:
$$x\circ y=6-2x-2y+xy.$$

Mai trebuie să povestim despre comutativitatea ei (și chiar despre asociativitatea acesteia, pe care o lăsăm pe mâine).

Spunem despre o operație că este comutativă dacă nu contează locul în care se află operanzii.

De exemplu, adunarea numerelor (chiar și a celor complexe) este comutativă, deoarece
$$5+4=4+5.$$

De asemenea, înmulțirea numerelor (chiar și a celor complexe) este și ea comutativă, căci
$$5\cdot 4=4\cdot 5.$$

În schimb, scăderea nu este comutativă, deoarece $5-4=1$ nu este totuna cu $4-5=-1$, căci $1\neq -1$.

Și nici măcar împărțirea nu este comutativă, căci $8:4=2$, pe când $4:8=0,5$.




Acum știm ce avem de verificat pentru operația noastră. Trebuie să vedem dacă contează locul operanzilor, adică dacă obținem sau nu obținem același rezultat atunci când schimbăm poziția operanzilor în cadrul operației.

Așadar, facem întâi
$$x\circ y=\color{blue}{6-2x-2y+xy}.$$

Apoi, respectând poziția operanzilor, facem
$$y\circ x=\color{blue}{6-2y-2x+yx}.$$

Verificăm dacă cele două rezultate sunt identice. Dacă sunt identice, atunci operația noastră este comutativă, iar dacă sunt diferite, atunci operația nu este comutativă. Deci, ne întrebăm
$$6-2x-2y+xy=6-2y-2x+yx\,\,\,?$$

Rescriem presupusa egalitate anterioară după ce dăm factor comun pe $-2$ în ambele părți. Deci
$$6-2(x+y)+xy=6-2(y+x)+yx$$
și analizăm noul rezultat. Noi știm că adunarea și înmulțirea sunt deja comutative. Și observăm că partea din dreapta devine tocmai același lucru cu partea din stânga dacă vom comuta termenii adunării $y+x$ și factorii înmulțirii $yx$. Prin această comutare obținem răspunsul că și legea dată spre verificare este comutativă.

De regulă, veți primi legi a căror comutativitate o veți demonstra tocmai bazându-vă pe comutativitatea bine stabilită deja a adunării și a înmulțirii. Altfel spus, va trebui să vă bazați raționamentele pe această comutativitate bine cunoscută a adunării și a înmulțirii.





Desigur, nu toate legile sunt comutative. Două exemple ați primit deja, scăderea și împărțirea. Dar mai putem inventa o mulțime de legi necomutative. De exemplu, dacă din definiția legii noastre scoatem termenul $-2y$, ajungem la o lege necomutativă.

Haideți să vedem ce se întâmplă, mai exact. Deci, pornim de la legea
$$x\circ y=6-2x+xy.$$
Observați că lipsește termenul $-2y$, corespunzător celui de-al doilea operand și există doar termenul $-2x$, corespunzător primului operand.

Să arătăm că această lege nu este comutativă. Pentru aceasta, vom calcula cum arată legea după ce comutăm poziția celor doi operanzi. Așadar,
$$y\circ x=6-2y+yx.$$

Desigur, se vede că membrul stâng nu este egal cu membrul drept, adică
$$6-2x+xy\neq 6-2y+yx.$$
Dar nu ne vom mulțumi cu ceea ce „vedem”, ci vom încerca să demonstrăm că cele două expresii nu sunt egale.

De regulă, pentru a demonstra că două expresii nu sunt egale, facem diferența lor și verificăm rezultatul. Dacă rezultatul este nul, expresiile sunt egale, iar dacă rezultatul este nenul, ele nu sunt egale.

Așadar, vom face
$$(x\circ y)-(y\circ x)=(6-2x+xy)-(6-2y+yx)=6-2x+xy-6+2y-yx.$$
Dar, înmulțirea este comutivă, adică $yx=xy$. Deci, vom avea atunci
$$(x\circ y)-(y\circ x)=6-2x+xy-6+2y-xy=2y-2x=2(y-x).$$

Prin urmare, comutativitatea legii noastre ar depinde doar de factorul $y-x$. Legea ar fi comutativă doar dacă acest factor ar fi nul, deci doar dacă $x$ ar fi egal cu $y$. Din păcate, acest lucru nu este posibil, deoarece legea operează nu doar cu operanzi egali între ei, ci și cu operanzi diferiți. Din acest motiv, legea $x\circ y=6-2x+xy$ nu este comutativă, căci factorul $y-x$ nu este în general nul.

Sper că v-ați făcut acum o idee despre comutativitate. Urmează mâine să povestim despre ceva mult mai greu: asociativitatea.

2 comentarii:

  1. Puteti sa ma ajutati sainteleg de ce 48+26+24e comutativ iar 33+29+17este asociativ va rog am nevoie de un rasp va multumesc

    RăspundețiȘtergere
  2. 2+1=1+2
    Asta înseamnă că adunarea este comutativă (se pot muta cei doi termeni cum dorim fără să se schimbe rezultatul)



    (1+2)+3=1+(2+3)
    Asta înseamnă că adunarea este asociativă (adică, nu contează unde punem parantezele, nu contează ce începem să adunăm mai întâi, că rezultatul va fi același). Din acest motiv, nici nu mai punem parantezele, căci fiecare adună cum dorește, rezultatul nedepinzând de poziția parantezelor.

    RăspundețiȘtergere

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare