Acest articol vine ca o continuare firească a celui anterior. Arătăm aici cum se calculează o limită de fracții polinomiale în cazul în care, după înlocuirea imediată a lui $x$, obținem cazul exceptat $\frac{\infty}{\infty}$.
Un exemplu simplu de asemenea limită, în care am ales niște coeficienți cât mai diferiți pentru ca elevul să observe legăturile, este
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2\cdot\infty+3}{4\cdot\infty-5}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Cum asemenea limite nu se pot calcula direct prin înlocuire, ci trebuie prelucrate, vom căuta să modificăm ceva la expresia noastră
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
astfel încât să scăpăm de nedeterminare.
Atunci, în ipoteza că nu avem voie să folosim regula lui l'Hôpital, pentru a scăpa de infinit vom încerca să vedem ce se întâmplă dacă simplificăm cu „infinit”, adică dacă simplificăm cu $x$ înainte de a-l înlocui cu $\infty$.
Pentru a putea simplifica fracția
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
cu $x$ suntem nevoiți să-l dăm factor forțat pe $x$, atât la numărător, cât și la numitor, căci doar așa vom putea simplifica cu $x$.
Obținem atunci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{x\cdot 2+x\cdot\frac{3}{x}}{x\cdot 4-x\cdot\frac{5}{x}}=\frac{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}{x\left(4-\frac{5}{x}\right)}}.$$
Simplificând apoi cu $x$, obținem deci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}}.$$
Prin urmare, limita noastră devine atunci
Un exemplu simplu de asemenea limită, în care am ales niște coeficienți cât mai diferiți pentru ca elevul să observe legăturile, este
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2\cdot\infty+3}{4\cdot\infty-5}=\frac{\infty}{\infty}.$$
Cum asemenea limite nu se pot calcula direct prin înlocuire, ci trebuie prelucrate, vom căuta să modificăm ceva la expresia noastră
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
astfel încât să scăpăm de nedeterminare.
Atunci, în ipoteza că nu avem voie să folosim regula lui l'Hôpital, pentru a scăpa de infinit vom încerca să vedem ce se întâmplă dacă simplificăm cu „infinit”, adică dacă simplificăm cu $x$ înainte de a-l înlocui cu $\infty$.
Pentru a putea simplifica fracția
$$\frac{2x+3}{4x-5}$$
cu $x$ suntem nevoiți să-l dăm factor forțat pe $x$, atât la numărător, cât și la numitor, căci doar așa vom putea simplifica cu $x$.
Obținem atunci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{x\cdot 2+x\cdot\frac{3}{x}}{x\cdot 4-x\cdot\frac{5}{x}}=\frac{x\left(2+\frac{3}{x}\right)}{x\left(4-\frac{5}{x}\right)}}.$$
Simplificând apoi cu $x$, obținem deci
$$\large{\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}}.$$
Prin urmare, limita noastră devine atunci
$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{3}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}}.$$
Dar noi știm că
$$\frac{1}{\infty}=\frac{oricenumărfinit}{\infty}=0.$$
Așadar, limita noastră devine în final
$$\large{\lim_{x\to\infty}\frac{2x+3}{4x-5}=\frac{2+\frac{3}{\infty}}{4-\frac{5}{\infty}}=\frac{2+0}{4-0}=\frac{2}{4}}.$$
Observați ceva interesant la rezultat? Am obținut că, limita este tocmai raportul coeficienților lui $x$, indiferent de ceea ce există în rest la numărător sau la numitor. Această consecință este cât se poate de generală. Vom vedea într-un material ulterior că limitele cu fracții polinomiale au ca rezultat raportul coeficienților ce apar în fața monoamelor de gradul maxim.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.