Să presupunem că ni se cere să găsim care este derivata funcției $f(x)=x^2$. Noi știm că răspunsul este simplu, adică $2x$, dar vrem să scoatem clar în evidență modul în care se obține acest răspuns.
Există două definiții echivalente ale derivatei. Una se scrie astfel
$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$
iar a doua se scrie
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
A doua derivată se obține din prima dacă înlocuim în prima definiție peste tot unde vedem $ceva$ cu $x$ și peste tot unde a fost $x$ în prima definiție înlocuim cu $x+h$.
Eu prefer să folosesc acum cea de-a doua definiție, pentru că obțin direct rezultatul cu $x$, nu cu $ceva$. Folosind a doua definiție, vom arăta că
$$(x^2)^\prime=2x.$$
Să trecem la treabă. Funcția noastră pe care trebuie s-o derivăm este, deci, $f(x)=x^2$. Definiția ne spune că
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Deci, vom înlocui în cazul nostru peste tot unde vedem $f(x)$ cu $x^2$ și peste tot unde vedem $f(x+h)$ cu $(x+h)^2$. Așadar,
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$
Dar din formulele de calcul prescurtat noi știm că $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$. Deci, calculul nostru devine
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$
Dar se observă că la numărător se reduce $x^2$ cu $-x^2$, deci rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}.$$
Cum această limită este în continuare un caz exceptat de tipul $\frac{0}{0}$, rezultă că trebuie să prelucrăm cumva mai departe expresia $\frac{2xh+h^2}{h}$ ca să scăpăm de cazul exceptat.
Pentru aceasta, vom observa că putem da factor comun pe $h$ în expresia $2xh+h^2$. Astfel, calculul nostru devine acum
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{h\cdot(2x+h)}{h}.$$
Acum putem simplifica fracția noastră cu $h$ și ne rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}(2x+h)$$
care nu mai este caz exceptat. Mai exact, trecând la limită și egalându-l acum pe $h$ cu $0$ fără frica de a mai obține vreun caz exceptat, obținem
$$\large{\color{red}{(x^2)^\prime}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=\color{red}{2x}}.$$
Ați văzut aici, așadar, un exemplu simplu care arată în ce mod derivata este o limită.
Există două definiții echivalente ale derivatei. Una se scrie astfel
$$f^\prime(ceva)=\lim_{x\to ceva}\frac{f(x)-f(ceva)}{x-ceva},$$
iar a doua se scrie
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
A doua derivată se obține din prima dacă înlocuim în prima definiție peste tot unde vedem $ceva$ cu $x$ și peste tot unde a fost $x$ în prima definiție înlocuim cu $x+h$.
Eu prefer să folosesc acum cea de-a doua definiție, pentru că obțin direct rezultatul cu $x$, nu cu $ceva$. Folosind a doua definiție, vom arăta că
$$(x^2)^\prime=2x.$$
Să trecem la treabă. Funcția noastră pe care trebuie s-o derivăm este, deci, $f(x)=x^2$. Definiția ne spune că
$$f^\prime(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
Deci, vom înlocui în cazul nostru peste tot unde vedem $f(x)$ cu $x^2$ și peste tot unde vedem $f(x+h)$ cu $(x+h)^2$. Așadar,
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$
Dar din formulele de calcul prescurtat noi știm că $(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$. Deci, calculul nostru devine
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}.$$
Dar se observă că la numărător se reduce $x^2$ cu $-x^2$, deci rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}.$$
Cum această limită este în continuare un caz exceptat de tipul $\frac{0}{0}$, rezultă că trebuie să prelucrăm cumva mai departe expresia $\frac{2xh+h^2}{h}$ ca să scăpăm de cazul exceptat.
Pentru aceasta, vom observa că putem da factor comun pe $h$ în expresia $2xh+h^2$. Astfel, calculul nostru devine acum
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}\frac{h\cdot(2x+h)}{h}.$$
Acum putem simplifica fracția noastră cu $h$ și ne rămâne
$$(x^2)^\prime=\lim_{h\to 0}(2x+h)$$
care nu mai este caz exceptat. Mai exact, trecând la limită și egalându-l acum pe $h$ cu $0$ fără frica de a mai obține vreun caz exceptat, obținem
$$\large{\color{red}{(x^2)^\prime}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=\color{red}{2x}}.$$
Ați văzut aici, așadar, un exemplu simplu care arată în ce mod derivata este o limită.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.
Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.