Faceți căutări pe acest blog

duminică, 14 septembrie 2014

Bézout a valorificat cel mai bine teorema împărțirii cu rest



În cazul numerelor întregi, teorema împărțirii cu rest ne spune că se întâmplă întotdeauna ca deîmpărțitul să fie egal cu împărțitorul înmulțit cu câtul și adunat cu restul. Simbolic, avem

$$D=C\cdot Î+R.$$

De exemplu, dacă alegem ca deîmpărțit pe 16 și ca împărțitor pe 3, atunci vor mai apărea în context alte două numere, dintre care unul va fi câtul, iar celălalt va fi restul. În cest caz, câtul va fi 5, iar restul va fi 1 și vom putea scrie

$$16=3\cdot 5+1$$

Teorema împărțirii cu rest ne spune nu doar că există 5 și 1, astfel încât $16=3\cdot 5+1$, ci și că nu mai există altele pentru care să fie valabil așa ceva.

Dar am uitat să menționăm o condiție de bază pentru ca teorema să fie adevărată. Este necesar ca ceea ce numim „rest” să fie mai mic decât împărțitorul. Dacă n-am pune această condiție, atunci am putea să găsim și alte numere $a$ și $b$ așa încât să avem $16=3\cdot a+b$.

De exemplu, am putea avea $a=2$ și $b=10$, deci am avea $16=3\cdot 2+10$. Doar că în acest caz, restul nu este mai mic decât împărțitorul, așa cum trebuie să fie restul prin definiție.

Așadar, există un singur rest mai mic decât împărțitorul.







După această scurtă introducere, trecem acum la polinoame, căci această teoremă este valabilă și în cazul polinoamelor. Altfel spus, în loc de numere întregi, lucrăm acum cu polinoame.

Numai că aici condiția ca restul să fie „mai mic” decât împărțitorul este puțin mai nuanțată. Căci, cum ar putea fi un polinom „mai mic” decât un alt polinom? În cazul polinoamelor, condiția este ca gradul restului să fie mai mic decât gradul împărțitorului.

Așadar, în cazul polinoamelor, teorema împărțirii cu rest ne spune că pentru orice polinom  $D(x)$ considerat „deîmpărțit” și un polinom $Î(x)$ considerat „împărțitor”, există un singur polinom $C(x)$ numit „cât” și un singur polinom $R(x)$ numit „rest” astfel încât gradul restului să fie mai mic decât gradul împărțitorului.

Prin urmare, simbolic, teorema împărțirii cu rest pentru polinoame ne spune că putem întotdeauna scrie:

$$D(x)=Î(x)\cdot C(x)+R(x),$$

unde vom ține seama că gradul lui $R(x)$ este mai mic decât gradul lui $Î(x)$.

Cam atât despre teorema împărțirii cu rest pentru polinoame. Acuma să vedem dacă are vreo utilitate această teoremă, cât de cât. Așa, la modul general, nu prea se întrevăd cine știe ce minunății în legătură cu această teoremă. Dar, vom vedea că se întrevăd minunății în cazul mai particulare.

Cel mai important, mai interesant, caz particular al teoremei împărțirii cu rest este cazul în care împărțitorul este un polinom de gradul cel mai mic (dar un pic mai mare decât zero). Deci, cel mai important caz al teoremei împărțirii cu rest este cazul în care împărțitorul are tocmai gradul unu.

De ce este atât de important acest caz? Pentru că în acest caz restul trebuie să aibă gradul zero, adică trebuie să fie un simplu număr, căci restul trebuie să aibă gradul mai mic decât împărțitorul! Vom vedea că acest număr care este restul are o legătură fascinantă cu împărțitorul.

Haideți să concretizăm. Ziceam că împărțitorul interesant este cel de gradul unu. Cum arată un polinom de gradul unu? Păi, simplu, trebuie să apară $x$ la puterea unu. Așadar, un polinom de gradul unu arată astfel $ax+b$. Deci, să vedem ce se întâmplă dacă alegem ca împărțitor un polinom de forma $ax+b$.

Teorema împărțirii cu rest ne spune că în acest caz putem scrie

$$D(x)=(ax+b)\cdot C(x)+R.$$

Observați că la $R$ nu am mai pus $x$ din moment ce restul trebuie să fie un polinom de gradul zero, adică număr obișnuit.

Bine, bine, am scris noi teorema pentru acest caz, dar ne spune ea oare ceva interesant? Absolut! Ne spune ceva despre numărul acela $R$.

Imaginați-vă că toată expresia $(ax+b)\cdot C(x)$ ar dispărea și ar rămâne doar

$$D(x)=R.$$

Când s-ar putea întâmpla asta? Păi, desigur, doar atunci când expresia $(ax+b)\cdot C(x)$ ar fi nulă. Dar oare când putem noi avea $(ax+b)\cdot C(x)=0$? Cea mai interesantă situație ca să avem $(ax+b)\cdot C(x)=0$ este ca însuși împărțitorul să fie zero, adică să avem $ax+b=0$.

Altfel spus, trebuie să rezolvăm ecuația banală $ax+b=0$. Această ecuație are ca soluție numărul $x=-\frac{b}{a}$. Altfel spus, numărul $-\frac{b}{a}$ este rădăcină a polinomului $ax+b$. Atunci ce am obținut, de fapt? Ne spune acum ceva nou teorema împărțirii cu rest?

Da, ne spune. Ne spune că dacă punem în locul lui $x$ peste tot rădăcina polinomului $ax+b$ (deci, numărul $-\frac{b}{a}$), atunci vom obține o valoare concretă interesantă a restului.

Haideți să îl înlocuim în teorema împărțirii cu rest pe $x$ cu rădăcina $-\frac{b}{a}$ ca să vedeți că nu vorbesc prostii. Să vedem ce obținem. Avem

$$D(-\frac{b}{a})=0\cdot C(x)+R.$$

Am pus $0$ în loc de $ax+b$, căci dacă pun în locul lui $x$ numărul $-\frac{b}{a}$ obțin, desigur $0$, din moment ce $-\frac{b}{a}$ este rădăcina lui $ax+b$.

Așadar, ce am obținut? Repetăm, am obținut $D(-\frac{b}{a})=0\cdot C(x)+R$. Și cum n-are rost să mai prelungim agonia cu expresia $0\cdot C(x)$ pe care o putem înlocui efectiv cu $0$, am obținut, de fapt, că
$$D(-\frac{b}{a})=R.$$
Sau mai bine scriem
$$R=D(-\frac{b}{a}),$$
căci pe noi ne interesează restul $R$.

Haideți să spunem în cuvinte ce am obținut. Restul împărțirii unui polinom $D(x)$ la polinomul de gradul întâi $ax+b$ este tocmai $D(-\frac{b}{a})$! Super rezultat!

Desigur, acest rezultat poate fi pus într-o formă și mai simplă. Doar că pentru aceasta punem în locul lui $a$ numărul $1$, iar în loc de $b$ o să punem $-b$ ca să scăpăm de semnul „$-$” din paranteza lui $D(x)$. Avem atunci următoarea formă mai simplă: restul împărțirii unui polinom $D(x)$ la polinomul de gradul întâi $x-b$ este tocmai $D(b)$.

Nu-i jucărie această concluzie, căci primiți la bac tot felul de calcule în care vi se cer asemenea resturi. Așadar, rețineți această minune de proprietate. Bineînțeles, veți primi alte litere, nu  neapărat $D(x)$ sau $C(x)$, dar voi puteți adapta concluzia noastră „albastră”.

De exemplu, mai puteți reține această concluzie și sub forma: restul împărțirii unui polinom $f(x)$ la polinomul $x-a$ este $f(a)$, formă pe care o și învățați în liceu, de altfel.

Dacă vreți să fiți și mai economi, puteți reține această concluzie chiar și sub forma mai prescurtată: restul împărțirii lui $f$ la $x-a$ este $f(a)$.





Buuun. Ei bine, să trecem acum la Bézout. Să vedem ce a făcut Bézout cu această concluzie. A privit, a citit și a răscitit propoziția „restul împărțirii lu $f$ la $x-a$ este $f(a)$” până când i-a venit o idee. Imaginați-vă că s-a întrebat următorul lucru: „dar ce ar ieși dacă $a$ ar fi tocmai rădăcină pentru $f$?”.

Bineînțeles, nu oricine pune întrebări ciudate, ci numai geniile au curajul să întrebe ceva ce alții nu au mai întrebat înaintea lor. Bézout a fost un geniu și a întrebat. Ba chiar a și răspuns.

Desigur, răspunsul este banal. Dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f(a)$ este tocmai zero, căci asta înseamnă „rădăcină”. Dar dacă $f(a)=0$, atunci restul împărțirii lui $f$ la $x-a$ este nul. Adică nu avem rest.

Dar ce înseamnă că nu avem rest? Înseamnă că $f$ este divizibil cu $x-a$.

Asta-i tot. Haideți acum să formulăm în cuvinte concluzia lui Bézout: dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f$ se divide cu $x-a$.

Sau mai putem spune altfel: dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $f$ este divizibil cu $x-a$.

Sau, totuna:  dacă $a$ este rădăcină a lui $f$, atunci $x-a$ îl divide pe $f$.

Așadar, dacă primiți la bac o problemă cu divizibilitatea polinoamelor, este foarte probabil ca ea să poată fi rezolvată cu minunata teoremă a lui Bézout.

Mult succes, puilor!

Niciun comentariu:

Trimiteți un comentariu

Exprimați-vă părerea despre articol sau cereți lămuriri suplimentare, ca să transmitem cât mai multă informație celor care au nevoie de ea.

Comentariul va apărea după un anumit interval de timp necesar moderării.

Legături la toate articolele din blog



Postări populare